Función Afín

 

Esta se define como una función real de la forma f (x) = mx+ b, en donde la variable x es de primer grado, y las variables a y b son constantes reales.

 

Esta función también es conocido como Función Lineal.

 

Representación Gráfica de una Función Afín

 

La función afín se representa en el plano cartesiano. Se caracteriza por ser una línea recta no vertical. Para representar esta función basta determinar dos puntos en el plano y trazar la recta que pasa por ellos. Toda función afín f(x)= mx + b  representada gráficamente por una recta no vertical implica que las rectas de la forma x = a, con a constante, no representan una función afín, por lo que m no tiene valor, caso contrario de la función afín y = a, donde m = 0.

 Punto de Corte con los Ejes

Se puede obtener el punto donde el gráfico de la función corta el eje vertical,  haciendo x = 0. Para determinar donde el gráfico corta al eje horizontal se debe hacer y = 0, con esto, se despeja x para obtener la abscisa del punto desconocido.

Por lo tanto, si  f (x) = mx + b se iguala a cero, entonces mx + b = 0 y x = -b/m. Por lo que, el gráfico de la función corta el eje horizontal en el punto (-b/m,0).

 

 

Punto de Corte con los Ejes X, Y

 

Pendiente y Ordenada en el Origen

 

Pendiente (m) de una Recta

 

En matemática, se puede asociar la pendiente de una recta con la inclinación de dicha recta respecto al eje horizontal.

 

En un función lineal definida como y = mx + b, la constante m se denomina pendiente de la función lineal. De acuerdo al valor de m, la función y = mx+ b es creciente, decreciente o constante.

 

Función Creciente:  A medida que aumenta el valor de la abscisa aumenta el valor de la ordenada, por lo que se tiene que  la pendiente es positiva (m > 0), por ende la recta es creciente.

 

Función Decreciente: A medida que aumenta el valor en la abscisa, disminuye el valor de la ordenada, por lo que se tiene que la pendiente es negativa (m < 0),  por ende la recta es decreciente.

 

Función Constante: Si la pendiente es nula (m = 0) entonces la recta es horizontal y constante.




Pendiente de una Recta

 

  

Ordenada (b) en el Origen

 

En una función lineal, y = mx+ b, el número constante b se denomina ordenada en el origen de la función. Si se hace x = 0, se obtiene y = b; luego (0,b) es el punto de corte del eje vertical Y con la recta dada por la función afín.

 

Posición de Rectas en el Plano según sus Pendiente

 

Si dos rectas paralelas cortan al eje horizontal se forman dos ángulos congruentes, ∢1 ≅ ∢2. Esto significa que las dos rectas tienen la misma inclinación con respecto al eje horizontal, y por ende tienen igual pendiente.

 

Se puede decir que dos rectas dadas por su función afín, son paralelas si y sólo si, tienen la misma pendiente.

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de ambas pendientes es igual a - 1.

 

 

Ecuación de la Pendiente

 

Para calcular la pendiente de una recta de dos puntos, P y Q. Si P (X₁, Y₁) y Q (X₂, Y₂) son dos puntos que pertenecen a la función y = mx+ b, por ende se cumple que: Y₁ = - mx₁ + b; y Y₂ = - mx₂ + b. Al despejar b en cada ecuación se tiene que: b = Y₁ – mX₁ y b = Y₂ – mX₂

 

De eso se tiene que:  m = (Y₂ – Y₁) / (X₂ – X₁)

 

Se debe tomar en cuenta que los valores de X₁ y X₂ deben ser diferentes ya que no se puede dividir un número entre cero; pero en caso tal que los números fuesen iguales, la recta que pasa por los puntos, entonces es vertical y no posee pendiente.  

 

 

 

Ecuación de la Pendiente

 

 

Ecuación General de la Recta

La ecuación y = mx + b no representa las rectas verticales en el plano cartesiano. Se puede decir que si se despeja 0, esta ecuación puede escribirse como Ax + By + C = 0, lo cual permitirá representar cualquier recta en el plano cartesiano. En esta ecuación A y B no pueden ser nulos a la vez.

 

En el caso tal de que A = 0, entonces la ecuación general de la recta se convierte en By + C = 0, por ende y = - C/B; esto representa una recta horizontal. 

 

En el caso tal de que B = 0, entonces la ecuación general de la recta se convierte en Ax + C = 0, por ende y = - C/A; esto representa una recta vertical.

 

Para otros casos queda la ecuación Ax + By + C = 0, al despejar la variable y, se obtiene que

y = (- A/B)x + (- C/B), si esta ecuación se compara con la ecuación principal de la recta, y = mx + b,    se tiene que la pendiente es igual a m = -A/B y la ordenada es igual a b = - C/B.

 

 

 

Construcción de la Ecuación de la Recta

La ecuación de la recta se puede construir en cualquiera de los siguientes casos:

 

• Dada la pendiente de la recta y la ordenada en el origen.
• Dados dos puntos de la recta.
• Dados un punto y la pendiente de la recta.
• Dados un punto y una recta paralela o perpendicular.

Fórmula para hallar la Ecuación de la Recta dados dos puntos

Se consideran los puntos A (x₁, y₁) y B (x₂, y₂); la siguiente expresión representa a la recta que pasa por los puntos A y B: y - y_{1 =} (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) . (x - x₁)

 

Fórmula que permite hallar la Ecuación de una Recta conocida su pendiente m y un punto de ella

Dado un punto A (x₁, y₁) y una pendiente m, existe una única recta que pasa por el punto A con pendiente m: y - y_{1  =}  m . (x - x₁).

Esta fórmula se conoce como ecuación punto pendiente de la recta.

 

 

 

Bibliografía

 

• 2012, Matemática 3er año, Santillana.
• Esther Morales. 2010. Función Afín, Representación Gráfica. Disponible en: http://laprofematematica.com/blog/funcion-afin-representacion-grafica/
• Función Afín. Disponible en: http://perso.wanadoo.es/maesecondotiero/4eso/funcion%20afin.pdf
• Puntos de Corte de una Función con Ejes de Coordenadas. Disponible en: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto2/punto2.HTML
• Recta Punto Pendiente. Disponible en: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/la_derivada_jipv/jpv6_ud_p1.htm
• Yamila Aguiar. Función Afín. Disponible en :http://funcionafinya.blogspot.com/

 

Elaborado por:

Jennifer Pinilla

3er año B